Cho các số thực \(a,b\) thỏa mãn điều kiện \(0<...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\frac{4\left( 3b-1 \right)}{9}\le {{b}^{2}}\)

Biến đổi và đặt \(t={{\log }_{a}}b\), đưa về hàm số \(f\left( t \right)\) và tìm GTLN của hàm số đó.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  {{\left( 3b-2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 9{{b}^{2}}-12b+4\ge 0\Leftrightarrow 4\left( 3b-1 \right)\le 9{{b}^{2}}\Leftrightarrow \frac{4\left( 3b-1 \right)}{9}\le {{b}^{2}} \\  \Rightarrow {{\log }_{a}}\frac{4\left( 3b-1 \right)}{9}\le {{\log }_{a}}{{b}^{2}}=2{{\log }_{a}}b \\  8\log _{\frac{b}{a}}^{2}a=\frac{8}{\log _{a}^{2}\frac{b}{a}}=\frac{8}{{{\left( {{\log }_{a}}b-1 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)

Đặt \(t={{\log }_{a}}b\) ta có \(P\le 2t+\frac{8}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}-1=f\left( t \right)\)

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có : \(f'\left( t \right)=2-\frac{16}{{{\left( t-1 \right)}^{3}}}=0\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{3}}=8\Leftrightarrow t=3\)

\(f\left( 3 \right)=2.3+\frac{8}{{{2}^{2}}}-1=7\Rightarrow f\left( t \right)\le 7\Rightarrow P\le 7\)

Chọn D.