Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng tính chất đường phân giác 

Giải chi tiết:

 Ta có $\left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON} \right]=k\left( 1;-\,2;2 \right)$$\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u}=\left( 1;-\,2;2 \right).$

$\begin{align} & \overrightarrow{OM}=\left( 2;\ 2;\ 1 \right)\Rightarrow OM=3. \\ & \overrightarrow{ON}=\left( -\frac{8}{3};\ \frac{4}{3};\ \frac{8}{3} \right)\Rightarrow ON=4. \\ \end{align}$

Kẻ phân giác $OF\,\,\,\left( F\in MN \right)$ta có: $\frac{OM}{ON}=\frac{MF}{NF}=\frac{3}{4}\Rightarrow \overrightarrow{MF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{FN}\Rightarrow F\left( 0;\frac{12}{7};\frac{12}{7} \right).$

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta \,OMN$$\Rightarrow \,\,I\in \left( OF \right)$$\Rightarrow \,\,\overrightarrow{OI}=k\,\overrightarrow{OF},$ với $k>0.$

Tam giác $OMN$ vuông tại $O,$ có bán kính đường tròn nội tiếp $r=1\,\,\Rightarrow \,\,IO=\sqrt{2}.$

Mà $ME=\frac{15}{7};\,\,OM=3;\,\,\cos \widehat{OMN}=\frac{3}{5}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,OF=\frac{12\sqrt{2}}{7}$ suy ra $\overrightarrow{OF}=\frac{12}{7}\,\,\overrightarrow{OI}\Rightarrow I\left( 0;1;1 \right).$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\left( \Delta \right):\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-\,2}=\frac{z+1}{2},$ có $\vec{u}=\left( 1;-\,2;2 \right),$ đi qua $I\left( 0;1;1 \right).$

Khoảng cách từ $E$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{EI};\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=\frac{2\sqrt{17}}{3}.$

Chọn A