Tìm tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y =  \pm \infty  \Rightarrow x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Hàm số có TCĐ \(x = {x_0}\) khi \(x = {x_0}\) là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử. Lưu ý điều kiện xác định của hàm số.

Giải chi tiết:

Chọn m = 2, khi đó hàm số trở thành \(y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 6} }}\)

Rõ ràng \(1 + \sqrt {x + 1} > 0\,\,\,\,\forall x \ge - 1\)

Khi đó để hàm số \(y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}\) có hai tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - mx - 3m = 0\) cần có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\) . Gọi hai nghiệm phân biệt là x1 và x2.

Khi đó ta phải có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1},{x_2} \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - m} \right)^2} - 4\left( { - 3m} \right) > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 12m > 0\\{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\\3m + m + 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\\m \ge - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array}\)

Chọn B.