Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\), đáy \...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải chi tiết:

Ta có \(I\) là trung điểm của \(BC\,\,\Rightarrow AI\bot BC\).

\(ABC.{A}'{B}'{C}'\) là lăng trụ đứng \(\Rightarrow {C}'C\bot \left( ABC \right).\)

\(\Rightarrow {C}'C\bot AI\) mà \(AI\bot BC\Rightarrow AI\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\Rightarrow AI\bot C'I\).

Suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {C'AI} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AI\\\left( {C'AI} \right) \supset C'I \bot AI\\\left( {ABC} \right) \supset BC \bot AI\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {C'AI} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {C'I;BC} \right)} = \widehat {C'IC} = {60^0}\).

Xét \(\Delta \,{C}'CI\) vuông tại \({C}\), có : \(\tan \widehat{{C}'IC}=\frac{C{C}'}{IC}\Rightarrow C{C}'=\tan {{60}^{0}}.\frac{a}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A{A}'=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Chọn A.