Tính tổng \(S\left( n \right) = 1.1! + 2.2! + .......

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tính tồng S(n) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Cách giải:

Ta có S(1) = 1 = 2 ! – 1

S(2) = 1.1 ! + 2.2 ! = 5 = 3 ! – 1

S(3) = 1.1 ! + 2.2 ! + 3.3 ! = 23 = 4 ! – 1

Dự đoán S(2017) = 2018 ! – 1 (*) \(\forall n \in N*\).

Ta chứng minh (*) đúng \(\forall n \in N*\) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Đương nhiên (*) đúng khi n = 1.

Giả sử (*) đúng đến n = k, khi đó ta có S(k) = (k + 1)! – 1

Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh S(k+1) = (k+2)! – 1

Theo giả thiết ta có: \(S\left( {k + 1} \right) = 1.1! + 2.2! + ........... + k.k! + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)! = S\left( k \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)!\)

Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có S(k) = (k + 1)! – 1.

Khi đó \(S\left( {k + 1} \right) = \left( {k + 1} \right)! - 1 + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)! = \left( {k + 1} \right)!\left( {k + 1 + 1} \right) - 1 = \left( {k + 1} \right)!\left( {k + 2} \right) - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1\)

Vậy (*) đúng đến n = k + 1 hay S(2017) = 2018 ! – 1 \(\forall n \in N*\).