Số nghiệm của phương trình \(\sqrt{3}\tan \left( x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\tan x=\tan \alpha \Leftrightarrow x=\alpha +k\pi \,\,\left( k\in Z \right)\)

Tìm các giá trị k nguyên để \(x=\alpha +k\pi \in \left[ -\pi ;2\pi  \right]\) : \(-\pi \le \alpha +k\pi \le 2\pi \Leftrightarrow \frac{-\pi -\alpha }{\pi }\le k\le \frac{2\pi -\alpha }{\pi }\,\,\left( k\in Z \right)\) 

Giải chi tiết:

\(\sqrt{3}\tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=1\Leftrightarrow \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \,\,\left( k\in Z \right).\)

Vì \(x \in \left[ { - \pi ,2\pi } \right] \Rightarrow  - \pi  \le  - \frac{\pi }{6} + k\pi  \le 2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z}  - \frac{5}{6} \le k \le \frac{{13}}{2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\\k = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6}\\x = \frac{{5\pi }}{6}\\x = \frac{{11\pi }}{6}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.