Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A kẻ đường t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago đảo để chứng minh \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}\) bằng một độ dài cố định nào đó không phụ thuộc vào d, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}+\widehat{{{A}_{3}}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{3}}}={{180}^{0}}-\widehat{{{A}_{2}}}={{180}^{0}}-{{90}^{0}}={{90}^{0}}\) (1)

Xét tam giác AEC vuông tại E ta có: \(\widehat{{{A}_{3}}}+\widehat{{{C}_{1}}}={{90}^{0}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) (cùng phụ với góc \(\widehat{{{A}_{3}}}\) )

Xét hai tam giác ABD và CAE có:

\(\widehat{D}=\widehat{E}={{90}^{0}},\,AB=AC,\,\,\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) , suy ra \(\Delta ABD=\Delta CAE(ch\,-\,gn)\).

Suy ra BD = AE (hai cạnh tương ứng)

Suy ra \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}=A{{D}^{2}}+B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}\) (do tam giác ABD vuông tại D)

Suy ra \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.