a)      Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: \({...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Coi phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

b)      Nhân và rút gọn bất phương trình ban đầu, sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm.

Giải chi tiết:

a)      Xem đây là phương trình bậc hai có biến x và tham số y:

\(\eqalign{  & {x^2} - 2x(y + 2) + 2{y^2} + 8y + 7 = 0  \cr   & \Delta ' = {(y + 2)^2} - (2{y^2} + 8y + 7) =  - {y^2} - 4y - 3 \ge 0 \Leftrightarrow (y + 3)(y + 1) \le 0  \cr   &  \Leftrightarrow  - 3 \le y \le  - 1. \cr} \)

Do x, y là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau:

TH1: \(y=-3\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có ngay \({x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1.\)

TH2: \(y = -2\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1.\)

TH3: \(y =-1\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: ( -3; -1); ( -2; - 1); ( -2; 1); ( -1; 1).

b)      Biến đổi thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\eqalign{  & ab({b^2} + bc + ac) + bc({c^2} + ca + ab) + ac({a^2} + ab + bc) \le (ab + bc + ac)({a^2} + {b^2} + {c^2})  \cr   &  \Leftrightarrow a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} + 2abc(a + b + c) \le a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} + ab({a^2} + {c^2}) + bc({a^2} + {b^2}) + ca({b^2} + {c^2})  \cr   &  \Leftrightarrow 2abc(a + b + c) \le ab({a^2} + {c^2}) + bc({a^2} + {b^2}) + ca({b^2} + {c^2}). \cr} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số không âm ta có:

\(\eqalign{  & ab({a^2} + {c^2}) \ge ab.2ac = 2{a^2}bc  \cr   & bc({a^2} + {b^2}) \ge 2bc.ab = 2a{b^2}c  \cr   & ca({b^2} + {c^2}) \ge ca.2bc = 2ab{c^2}  \cr   &  \Rightarrow VP \ge 2{a^2}bc + 2a{b^2}c + 2ab{c^2} = 2abc(a + b + c). \cr} \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).