Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) , đường cao \(AH\...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau.

b) Chứng minh \(\Delta DHA\) cân tại \(D\)

\( \Rightarrow AD = DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)

c) Chứng minh \(DB=DA\) hay D là trung điểm của AB.

Suy ra \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), \(BE\) là một đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên nó đi qua G. Từ đó suy ra \(B,E,G\) thẳng hàng.

d) Chứng minh dựa vào bất đẳng thức tam giác, tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Giải chi tiết:

a) Xét hai tam giác: \(\Delta AHB\& \Delta AHC.\)

Ta có: \(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {gt} \right)\)

\(AB = AC\) và .. (do tam giác \(ABC\) cân tại A

 \( \Rightarrow \Delta AHB = \Delta AHC.\) (cạnh huyền góc nhọn)

b) Chứng minh \(AD=DH\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác

\( \Rightarrow \angle {A_1} = \angle {A_2}\)        (2)

Mà \(\angle {{H}_{2}}=\angle {{A}_{2}}\)     (1)                 (hai góc ở vị trí so le trong)

Từu (1) và (2) suy ra: \(\angle {A_1} = \angle {H_2}\,\,\,\left( 3 \right)\)

Tam giác  có hai góc ở đáy bằng nhau \(\left( \angle {{A}_{1}}=\angle {{H}_{2}}\,\,\,\,\,(cmt) \right)\)

\(\Rightarrow \Delta DHA\) cân tại \(D\)

\(\Rightarrow AD=DH\) (hai cạnh bên của tam giác cân)

c)

 Vì \(DH//AC\left( {gt} \right)\) nên \(\angle ACB = \angle {H_1}\) (hai góc ở vị trí đồng vị)  (1)

Mà \(\angle ACB = \angle ABC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại A)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)

Xét \(\Delta DHB\) có: \(\angle {H_1} = \angle ABC\)(cmt)

Nên \(\Delta DHB\) cân tại D. Do đó: \(DB=DH\)

Mặt khác: \(AD=DH\) (chứng minh a))

Suy ra:

\(AD = DB\)

 Tức D là trung điểm của AB.

Xét \(\Delta ABC\) có DC là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

Mà \(CD \cap AH = G\) (giả thiết)

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Do đó: đường trung tuyến BE đi qua điểm G, hay nói cách khác \(B,E,G\) thẳng hàng.

d) Ta có: \(DC,BE,AH\) lần lượt là đường trung tuyến ứng với các cạnh \(AB;AC;BC\)

Khi đó:

\(\begin{align}2DC<AC+BC \\ 2BE<AB+BC \\ 2AH<AB+BC \\ \Rightarrow 2.\left( DC+BE+AH \right)<2.\left( AB+AC+BC \right) \\ \Rightarrow DC+BE+AH<AB+AC+BC \\ \end{align}\)

Mà \(DC=BE\,\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\begin{align} \,\Rightarrow DC+BE+AH<AB+AC+BC \\ 2.BE+AH<AB+AC+BC \\ 2.\frac{3}{2}.BG+AH<AB+AC+BC \\ 3BG+AH<AB+AC+BC \\ Hay\,\,AB+AC+BC>AH+3BG\, \\ \end{align}\)

Vậy: \(AB+AC+BC>AH+3BG\) (đpcm)