Cho 4 số thực dương a, b, c, d chứng mình...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phản chứng

Giải chi tiết:

Giả sử bốn số \({a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c};{b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d};{c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a};{d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) đều nhỏ hơn 3

Suy ra \({a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + {b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + {c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a} + {d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 12\)   (1)

Ta lại có

\(\begin{array}{l}{a^2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + {b^2} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} + {c^2} + \frac{1}{d} + \frac{1}{a} + {d^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{d}\\{a^2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}}} = 3\,\,\left( {BDT\,\,Co - si} \right)\end{array}\)

Tương tự với b; c; d

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{d} \ge 3.4 = 12\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và  (2) suy ra vô lý

Vậy tồn tại ít nhất 1 số không nhỏ hơn 3 (đpcm).