Cho hình trụ \(\left( T \right)\) có chiều cao bằn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện khi biết góc và khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\,\,BC = b;\,\,d\left( {AD;BC} \right) = d;\,\,\widehat {\left( {AD;\,\,BC} \right)} = \alpha \). Khi đó\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}abd.\sin \alpha \)

Từ đó đánh giá \(\sin \alpha  \le 1\) để tìm giá trị lớn nhất của \({V_{ABCD}}\)

Giải chi tiết:

Vì chiều cao hình trụ bằng đường kính đáy nên \(OO' = 2R\)

Ta thấy \(OO' \bot OA;\,OO' \bot O'B \Rightarrow d\left( {OA;O'B} \right) = OO' = 2R\)

Xét tứ diện \(OAO'B\) có \(OA = R;\,\,O'B = R;\,\,d\left( {OA;O'B} \right) = 2R\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(OA\) và \(O'B\). Khi đó ta có

\({V_{OAO'B}} = \dfrac{1}{6}OA.O'B.d\left( {OA;O'B} \right).\sin \alpha  = \dfrac{1}{6}.R.R.2R.\sin \alpha  = \dfrac{{{R^3}}}{3}\sin \alpha  \le \dfrac{{{R^3}}}{3}\) 

(vì \(\sin \alpha  \le 1\) )

Nên \({V_{\max }} = \dfrac{{{R^3}}}{3}\) .

Chọn B.