Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp c – g – c.

2. Từ kết quả câu 1, suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau và bằng 90⁰ và tìm ra điều phải chứng minh.

3. Chứng minh 2 tam giác bằng nhau theo trường hợp g – c – g, suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Áp dụng kết quả đã chứng minh và tính chất bắc cầu để tìm ra điều cần chứng minh.

Giải chi tiết:

1. Xét tam giác ABC và tam giác MNC ta có:

          CA = CM (gt)

          CB = CN (gt)

          \(\angle ACB=\angle MCN\) (2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow \Delta ABC=\Delta MNC\ (c-g-c)\) (đpcm)

2. Ta có \(\Delta ABC=\Delta MNC\) (cmt)

\(\Rightarrow \angle BAC=\angle NMC={{90}^{0}}\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow CM\bot MN\ hay\ AM\bot MN\) (điều phải chứng minh)

3. Gọi điểm F là giao của đường thẳng CE và MN.

Xét tam giác CAE và tam giác CMF ta có:

          \(\angle CA\text{E}=\angle CMF={{90}^{0}}\) (cmt)

          CA = CM (gt)

          \(\angle AC\text{E}=\angle MCF\) (2 góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow \Delta CA\text{E}=\Delta CMF\ (g-c-g)\)

\(\Rightarrow A\text{E}=MF\) (2 cạnh tương ứng)

Mà \(A\text{E}=\frac{1}{2}AB\ \)(Vì E là trung điểm của AB)

\(\Rightarrow MF=\frac{1}{2}AB\ \)      (1)

Ta lại có \(\Delta ABC=\Delta MNC\) (cmt)

\(\Rightarrow AB=MN\( AB = MN (2 cạnh tương ứng)          (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(MF=\frac{1}{2}MN\)

Hay F là trung điểm của MN.

Vậy đường thẳng CE đi qua trung điểm của MN (đpcm).