Tìm m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị.

+) Sử dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết:

Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + 5m + 4\)

Để hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} - 5m - 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 9m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 9\\m < 0\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình \(y' = 0\), theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m - 2} \right)\\{x_1}{x_2} = 5m + 4\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có \({x_1} < 2 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 2 < 0 < {x_2} - 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 5m + 4 + 4\left( {m - 2} \right) + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 9m < 0 \Leftrightarrow m < 0\end{array}\)

Chọn C.