Tìm tất cả các giá trị của tham...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \({{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}=t\) , tìm điều kiện của t

+) Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc 2 ẩn t, tìm điều kiện của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết:

\({{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}-1}}=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}-\frac{1}{2}=0\)

Ta có \({{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}.{{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2}.\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}=1\)

Đặt \({{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}=t\,\,\Leftrightarrow {{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{t}\Rightarrow t={{\left( \frac{2}{3+\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\log }_{\frac{2}{3+\sqrt{5}}}}t\) , khi đó phương trình trở thành: \(t+m\frac{1}{t}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-\frac{1}{2}t+m=0\,\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t+2m=0\,\left( * \right)\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}>0\Leftrightarrow {{\log }_{\frac{2}{3+\sqrt{5}}}}t>0\Leftrightarrow 0<t<1.\)

Để phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có nghiệm kép \(t\in \left( 0;\,\,1 \right)\)hoặc  có 2 nghiệm \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\) sao cho \(0<{{t}_{1}}<1\le {{t}_{2}}\), hoặc \({{t}_{1}}\le 0<{{t}_{2}}<1\)

TH1: pt (*) có nghiệm kép \(\Leftrightarrow \Delta =1-4.4m=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{16}\)

Khi đó phương trình (*) có nghiệm kép \(t=\frac{1}{4}\in \left( 0;\,\,1 \right)\,\,\left( tm \right)\)

TH2: pt(*) có 2 nghiệm \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\) sao cho \(0<{{t}_{1}}<1\le {{t}_{2}}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}af\left( 0 \right) > 0\\af\left( 1 \right) \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.2m > 0\\2\left( {2 - 1 + 2m} \right) \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \le  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {VN} \right)\)

TH3: pt(*) có 2 nghiệm \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\) sao cho \({{t}_{1}}\le 0<{{t}_{2}}<1\)

\(\left\{ \begin{array}{l}af\left( 0 \right) \le 0\\af\left( 1 \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.2m \le 0\\2\left( {2 - 1 + 2m} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m >  - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} < m \le 0\)

Vậy \(-\frac{1}{2}<m\le 0\) hoặc \(m=\frac{1}{16}\)

Chọn C.