Cho hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow \) tọa độ điểm P.

Tính các vector \(\overrightarrow {P{A_1}} ;\,\overrightarrow {P{A_2}} \) sau đó thay vào giả thiết \(P{M^2} = k.\overrightarrow {P{A_1}} .\overrightarrow {P{A_2}} \) và tìm k.

Giải chi tiết:

\((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai đỉnh \({A_1}( - a;0),\,\,{A_2}(a;0)\).

Hình chiếu của \(M({x_0};{y_0})\) xuống Ox là \(P({x_0};0)\) , \(\overrightarrow {P{A_1}}  = \left( { - a - {x_0};0} \right),\overrightarrow {P{A_2}}  = \left( {a - {x_0};0} \right)\)

\(M({x_0};{y_0}) \in (H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(P{M^2} = k.\overrightarrow {P{A_1}} .\overrightarrow {P{A_2}}  \Leftrightarrow {y_0}^2 = k.\left( { - a - {x_0}} \right).\left( {a - {x_0}} \right) \Leftrightarrow {y_0}^2 = k{x_0}^2 - k{a^2} \Leftrightarrow k{x_0}^2 - {y_0}^2 = k{a^2} \Leftrightarrow \frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{k{a^2}}} = 1\), \(\left( {k \ne 0} \right)\)

Mà \(M({x_0};{y_0})\)là điểm tùy ý trên (H) nên ta có: \(k{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow k = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\).

Chọn: A