Cho Elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định các hệ số a, b, c. Tìm các tiêu điểm \({F_1},{F_2}\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\)

Giải chi tiết:

\((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow a = 5,\,b = 2\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {2^2} = 21 \Rightarrow c = \sqrt {21} \)

Ta có: \({F_1}\left( { - \sqrt {21} ;0} \right),\,\,{F_2}\left( {\sqrt {21} ;0} \right)\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{y  _0}} \right) \in (E) \Rightarrow \,\,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1\)

\(\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {{x_0} + \sqrt {21} ;\,{y_0}} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {{x_0} - \sqrt {21} ;\,{y_0}} \right)\)

Vì \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\) nên \(\overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_0} + \sqrt {21} } \right)\left( {{x_0} - \sqrt {21} } \right) + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 21\)

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{  {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr   {x_0}^2 + {y_0}^2 = 21 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  4{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 100 \hfill \cr   {x_0}^2 + {y_0}^2 = 21 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0}^2 = {{425} \over {21}} \hfill \cr   {y_0}^2 = {{16} \over {21}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} =  \pm {{5\sqrt {357} } \over {21}} \hfill \cr   {y_0} =  \pm {{4\sqrt {21} } \over {21}} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy, các điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\({M_1}\left( {{{5\sqrt {357} } \over {21}};{{4\sqrt {21} } \over {21}}} \right);{M_2}\left( {{{5\sqrt {357} } \over {21}}; - {{4\sqrt {21} } \over {21}}} \right);{M_3}\left( { - {{5\sqrt {357} } \over {21}};{{4\sqrt {21} } \over {21}}} \right);{M_4}\left( { - {{5\sqrt {357} } \over {21}}; - {{4\sqrt {21} } \over {21}}} \right)\)

Chọn: A