Cho tam giác \(ABC\) với \(AC>AB\). Gọi \(M,N\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

a) Chứng minh \(P\) là trung điểm của \(BE\) dựa vào đường trung bình rồi suy ra \(AP=\frac{AB+AE}{2}\).

Chứng minh \(\Delta ACE\) cân tại \(A\) suy ra \(AE=AC\Rightarrow \) đpcm.

b) Chứng minh \(\Delta NPM\) cân tại \(N\) bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình và tính chất tam giác cân.

c) Chứng minh \(PN=\frac{1}{2}AC\).

Giải chi tiết:

a) Ta có \(AP=AB+BP\)

  \(AP=AEPE\)

Do đó \(2AP=AB+AE+BPPE\text{ }\left( 1 \right)\)

Trong tam giác \(BCE\) ta có :\(BM=MC\)  và \(MP//CE\) (cùng vuông góc với tia phân giác \(Ax\)) nên suy ra \(P\) là trung điểm của \(BE\) và ta có \(BP=PE\) .

Mặt khác tam giác \(ACE\) cân tại \(A\) vì có phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao. Do đó \(AE=AC\) .

Vậy (1) cho ta \(2AP=AB+AC\) hay \(\text{AP =}\frac{AB+AC}{2}\) (đpcm)

b) Đường thẳng \(MP\) cắt \(AC\) tại \(Q\) . Ta có tam giác \(APQ\) cân tại \(A\) vì phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao, nên ta có \(\widehat{APM}=\widehat{AQP}\) .

Mà \(\widehat{NMP}=\widehat{AQP}\) (hai góc đồng vị)

Do đó \(\widehat{APM}=\widehat{NMP}\)

Suy ra tam giác \(MNP\) cân tại \(N\).

Suy ra \(PN=MN\)

c) Ta có \(MN=\frac{1}{2}AC\) ( đường trung bình của tam giác \(ABC\))

Vậy \(PN=\frac{1}{2}AC\).