a)     Giải phương trình \(3x+7\sqrt{x-4}=14\sqrt{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)     Sử dụng biện pháp nhân biểu thức liên hợp.

b)     Trừ theo vế của hai phương trình cho nhau, đưa phương trình sau khi trừ về dạng tích.

Giải chi tiết:

a)     Giải phương trình \(3x+7\sqrt{x-4}=14\sqrt{x+4}-20\)

Điều kiện  \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 4 \ge 0\\
x + 4 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 4\\
x \ge - 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 4\)

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,3x + 7\sqrt {x - 4} = 14\sqrt {x + 4} - 20\\
\Leftrightarrow 3x + 20 - 7\left( {2\sqrt {x + 4} - \sqrt {x - 4} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow 3x + 20 - 7.\frac{{4\left( {x + 4} \right) - \left( {x - 4} \right)}}{{2\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 4} }} = 0\\
\Leftrightarrow 3x + 20 - 7.\frac{{3x + 20}}{{2\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 4} }} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {3x + 20} \right)\left( {1 - \frac{7}{{2\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 4} }}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x + 20 = 0\\
1 - \frac{7}{{2\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 4} }} = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{{20}}{3}\,\,\left( {ktm} \right)\\
2\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 4} = 7
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 2\sqrt {x + 4} - 6 + \sqrt {x - 4} - 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2\frac{{\left( {\sqrt {x + 4} - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 4} + 3} \right)}}{{\sqrt {x + 4} + 3}} + \frac{{\left( {\sqrt {x - 4} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 4} + 1} \right)}}{{\sqrt {x - 4} + 1}} = 0\\
\Leftrightarrow 2\frac{{x - 5}}{{\sqrt {x + 4} + 3}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt {x - 4} + 1}} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt {x + 4} + 3}} + \frac{1}{{\sqrt {x - 4} + 1}}} \right) = 0
\end{array}\)

Do \(\frac{2}{\sqrt{x+4}+3}+\frac{1}{\sqrt{x-4}+1}>0\,\,\forall x\ge 4\Rightarrow x-5=0\Leftrightarrow x=5\,\,\left( tm \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=5\).

b)    Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  & 6x+4y+2={{\left( x+1 \right)}^{2}}\,\,\,\left( 1 \right) \\  & 6y+4x-2={{\left( y-1 \right)}^{2}}\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Trừ vế theo vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,2\left( {x - y} \right) + 4 = {\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 2\left( {x - y + 2} \right) = \left( {x + 1 + y - 1} \right)\left( {x + 1 - y + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2\left( {x - y + 2} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x - y + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - y = - 2\\
x + y = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = y - 2\\
x = 2 - y
\end{array} \right.
\end{array}\)

TH1: \(x=y-2\), thay vào phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,6x + 4y + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 6\left( {y - 2} \right) + 4y + 2 = {\left( {y - 2 + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 6y - 12 + 4y + 2 = {y^2} - 2y + 1\\
\Leftrightarrow {y^2} - 12y + 11 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 1 \Rightarrow x = - 1\\
y = 11 \Rightarrow x = 9
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm \(\left( x;y \right)=\left( -1;1 \right)\) hoặc \(\left( x;y \right)=\left( 9;11 \right)\).

TH2: \(x=2-y\), thay vào phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,6x + 4y + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 6\left( {2 - y} \right) + 4y + 2 = {\left( {2 - y + 1} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 12 - 6y + 4y + 2 = {y^2} - 6y + 9\\
\Leftrightarrow {y^2} - 4y - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = - 1 \Rightarrow x = 3\\
y = 5 \Rightarrow x = - 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm \(\left( x;y \right)=\left( 3;-1 \right)\) hoặc \(\left( x;y \right)=\left( -3;5 \right)\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( -1;1 \right);\,\,\left( 9;11 \right);\,\,\left( 3;-1 \right);\,\,\left( -3;5 \right)\).

Chọn B