Cho tam giác ABC (AB \( \ne \) BC), tia \(Bx\) đi...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn.

b) Chứng minh \(\Delta AMF = \Delta CME \Rightarrow \widehat {MAF} = \widehat {MCE} \Rightarrow \)đpcm.

c) Chứng minh \(\Delta APM = \Delta CQM \Rightarrow \widehat {AMP} + \widehat {AMQ} = {180^0} \Rightarrow P,M,Q\) thẳng hàng.

Giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta CMF\) có:

\(MA = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(AC\))

\(\widehat {AEM} = \widehat {CFM} = {90^0}\) (gt)

\(\widehat {AME} = \widehat {CMF}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta AME = \Delta CMF\left( {c.h.g.n} \right)\)

b) Từ câu a) \(\Delta AME = \Delta CMF \Rightarrow ME = MF\)(hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AMF\) và \(\Delta CME\) có:

\(MA = MC\( (M là trung điểm của AC)

\(\widehat {AMF} = \widehat {CME}\) (đối đỉnh)

\(ME = MF\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AMF = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {MAF} = \widehat {MCE}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AF//CE\) (đpcm)

c) Vì \(P\) là trung điểm của \(AF\) nên \(AP = PF = \frac{{AF}}{2}\left( 1 \right)\)

Vì \(Q\) là trung điểm của \(CE\) nên \(CQ = QE = \frac{{CE}}{2}\left( 2 \right)\)

Mà \(AF = CE\left( 3 \right)\) (hai cạnh tưng ứng do \(\Delta AMF = CME\left( {cmt} \right)\))

Từ (1),(2) và (3) ta có \(AP = CQ\).

Xét \(\Delta APM\) và \(\Delta CQM\) có:

\(AP = CQ\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {PAM} = \widehat {QCM}\) (vì \(\widehat {MAF} = \widehat {MCE},P \in FA,Q \in CE\))

\(MA = MC\) (M là trung điểm của \(AC\))

Suy ra \(\Delta APM = \Delta CQM\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CMQ}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {AMP} + \widehat {AMQ} = \widehat {CMQ} + \widehat {AMQ} = {180^0}\) (do \(\widehat {CMQ},\widehat {AMQ}\) kề bù)

Do đó \(\widehat {AMP} + \widehat {AMQ} = {180^0} \Rightarrow P,M,Q\) thẳng hàng.