Trong khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng tích rồi giải và tìm nghiệm.

Giải chi tiết:

Ta viết lại phương trình đã cho thành

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}4x + 3\sin 4x\cos 4x - 4{\cos ^2}4x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin 4x - c{\rm{os}}4x} \right)\left( {\sin 4x + 4\cos 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 4x - c{\rm{os}}4x = 0\\\sin 4x + 4c{\rm{os}}4x = 0\end{array} \right.  \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 4x = 1\\\tan 4x = - 4\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\4x = \alpha + m\pi \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{\alpha }{4} + \dfrac{{m\pi }}{4}\end{array} \right.\,\,\left( {k,m\, \in Z} \right)\end{array}\)

với \(\tan \alpha = - 4.\)

Do ta cần tìm nghiệm trong \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên ta cần tìm \(k \in Z\) sao cho \(0 < \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4},\dfrac{\alpha }{4} + \dfrac{{m\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2}.\)

\(\begin{array}{l}0 < \dfrac{\pi }{{16}} + \dfrac{{k\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} < k < \dfrac{7}{4}\mathop \Leftrightarrow \limits^{k \in Z} \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right.\\0 < \dfrac{\alpha }{4} + \dfrac{{m\pi }}{4} < \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - \alpha }}{\pi } < m < 2 - \dfrac{\alpha }{\pi } \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn D.