Một cái phễu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kí...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(SAB\) , sử dụng công thức \(r = \frac{S}{p}\) trong đó \(S,p\) lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác \(SAB\).

+) Tính thể tích khối cầu, sử dụng công thức \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\).

+) Thể tích khối cầu =  thể tích phần nước dâng lên ở dạng khối trụ, sử dụng công thức \(V = \pi {R^2}h\) tính thể tích khối trụ, từ đó suy ra \(h\).

Giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago ta tính được \(SA = SB = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {4{R^2} + {R^2}}  = R\sqrt 5 \).

Ta có \({S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SO.AB = \frac{1}{2}.2R.2R = 2{R^2}\)

Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = \frac{{SA + SB + AB}}{2} = \frac{{R\sqrt 5  + R\sqrt 5  + 2R}}{2} = R\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\)

Do khối cầu nằm vừa khít trong hình nón nên bán kính cầu chính bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(SAB\).

\( \Rightarrow r = \frac{{{S_{\Delta SAB}}}}{p} = \frac{{2{R^2}}}{{R\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}} = \frac{{2R}}{{\sqrt 5  + 1}}\).

\( \Rightarrow \) Thể tích khối cầu là \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi \frac{{8{R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}}\)

Thể tích khối cầu chính bằng thể tích phần nước dâng lên trong hình trụ có bán kính đáy R.

Gọi \(h\) là chiều cao cột nước dâng lên ta có \(V = \pi {R^2}h = \frac{4}{3}\pi \frac{{8{R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}} \Leftrightarrow h = \frac{{32R}}{{3{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^3}}}\).

Chọn A.