Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Biến đổi điều kiện bài cho về dạng \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) với \(u,v\) là các biểu thức của \(x,y\)

- Xét hàm \(y = f\left( t \right)\) suy ra mối quan hệ của \(u,v\)  rồi suy ra \(x,y\)

- Đánh giá \(P\) theo biến \(t = x + y\) bằng cách sử dụng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết:

Điều kiện : \(\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} > 0.\)

\(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 3} \right) + y\left( {y - 3} \right) + xy\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) - {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) = {x^2} + {y^2} + xy - 3\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + y} \right) + 3\left( {x + y} \right) + 2 = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left[ {3\left( {x + y} \right)} \right] + 3\left( {x + y} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) + {x^2} + {y^2} + xy + 2\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 3 }}t + t,\,\,t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln \sqrt 3 }} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\)

Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến và liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó: \(f\left( {3\left( {x + y} \right)} \right) = f\left( {{x^2} + {y^2} + xy + 2} \right) \Leftrightarrow 3\left( {x + y} \right) = {x^2} + {y^2} + xy + 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)    

        \( \Leftrightarrow xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 2\)

Ta có: \(x = x + xy - xy = x\left( {y + 1} \right) - xy \le {\left( {\frac{{x + y + 1}}{2}} \right)^2} - xy\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y + 1\).

Do đó từ \(\left( 1 \right)\), suy ra: \(x \le \frac{{{{\left( {x + y + 1} \right)}^2}}}{4} - {\left( {x + y} \right)^2} + 3\left( {x + y} \right) - 2\).

Đặt \(t = x + y,\,\,t > 0\)

Suy ra: \(P = \frac{{2\left( {x + y} \right) + 1 + x}}{{x + y + 6}} \le \frac{{2t + 1 + \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{4} - {t^2} + 3t - 2}}{{t + 6}} = \frac{{ - 3{t^2} + 22t - 3}}{{4\left( {t + 6} \right)}} = f\left( t \right)\).

Ta có: \(f'\left( t \right) = \frac{{ - 3{t^2} - 36t + 135}}{{4{{\left( {t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\) (tm)

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta có \(\max P = \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..\)

Chọn A.