Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 4{m^3}.\) Với g...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị.

+) Xác định các điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số, tính \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

Giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\)

Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow 2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 4{m^3} \Rightarrow A\left( {0;4{m^3}} \right)\).

Với \(x = 2m \Rightarrow y = 8{m^3} - 3m.4{m^2} + 4{m^3} = 0 \Rightarrow B\left( {2m;0} \right)\).

Khi đó ta có \(AB = \sqrt {4{m^2} + 16{m^6}}  = \sqrt {20}  \Leftrightarrow 4{m^2} + 16{m^6} = 20 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\{m^2} = 0\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm 1\;\left( {tm} \right).\)

Vậy \(m =  \pm 1\).

Chọn C.