Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).

+) Sử dụng giả thiết \(f\left( {2x} \right) = 3f\left( x \right)\) và phương pháp đổi biến tính \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết:

Ta có: \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  - 1 = J - 1\).

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {3f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx}  = 1 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx}  = 3\)

Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( {2x} \right)dx}  = \int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 3 \Rightarrow J = 3\).

Vậy \(I = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = 3 - 1 = 2\).

Chọn C.