Tìm nghiệm nguyên của phương trình \({x^4} + {y^4}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm số dư của phép chia số mũ bậc 4 với số chia là 7 từ đó suy ra tính chia hết của x,y,z với 7.

Tìm nghiệm tổng quát của phương trình rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Ta có 

      \(\begin{array}{l}\forall a \in \mathbb{Z} \Rightarrow {a^2} \equiv 0;1;4\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\ \Rightarrow {a^4} \equiv 0;1;2\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\ \Rightarrow {x^4} + {y^4} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\y \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một nghiệm của phương trình ban đầu

                        \(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_0}^4 + {y_0}^4 = 7{z_0}^4\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\\{y_0} \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 7{x_1}\\{y_0} = 7{y_1}\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó 

           \(\begin{array}{l}{7^4}{x_1}^4 + {7^4}{y_1}^4 = 7{z_0}^4\\ \Leftrightarrow {7^3}{x_1}^4 + {7^3}{y_1}^4 = {z_0}^4\\ \Rightarrow {z_0}^4\,\, \vdots \,\,7 \Rightarrow {z_0}\,\, \vdots \,\,7\\ \Rightarrow {z_0} = 7{z_1}\end{array}\)

Khi đó ta có phương trình \({x_1}^4 + {y_1}^4 = 7{z_1}^4 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.

Chứng minh tương tự \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{7^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{7^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{7^k}}}} \right)\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\) là nghiệm của phương trình đã cho.

                            \( \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {0;0;0} \right)\).