Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều nên \(SH \bot AB\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong (ACBD) kẻ \(HE \bot BM\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(SH \bot \left( {ABCD} \right) \supset BM \Rightarrow SH \bot BM\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow BM \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow BM \bot SE\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SBM} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BM\\\left( {SBM} \right) \supset SE \bot BM\\\left( {ABCD} \right) \supset HE \bot BM\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;HE} \right)}\)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE\) vuông tại H

\( \Rightarrow \widehat {SEH} < {90^0} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;HE} \right)} = \widehat {SEH} = {60^0}\)

Gọi N là trung điểm của BC ta dễ dàng chứng minh được \(AN \bot BM\) tại I.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN có : \(AI = \dfrac{{A{B^2}}}{{AN}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + B{N^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{4a}}{\sqrt5}\)

\(HE \bot BM \Rightarrow HE//AI\), mà H là trung điểm AB \( \Rightarrow HE\) là đường trung bình của tam giác ABI \( \Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AI = \dfrac{{2a}}{\sqrt{5}}\).

Xét tam giác vuông SHE có : \(SH = HE.\tan 60 = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{\sqrt{5}}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{\sqrt{5}}.4{a^2} = \dfrac{{8\sqrt {15} {a^3}}}{{15}}\).

Chọn B.