Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). Gọi A,...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau \( \Rightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\,\)

Giải chi tiết:

Đường thẳng AB tạo với 2 trục tọa độ một tam giác cân \( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O \( \Rightarrow \)Đường thẳng AB có hệ số góc \(k =  \pm 1\)

Mà \(k > 0 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow \)Phương trình đường thẳng AB có dạng: \(y = x + m\) (d)

\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A, B song song với nhau

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\,\, \Leftrightarrow 3x_A^2 - 6{x_A} = 3x_B^2 - 6{x_B}\\ \Leftrightarrow x_A^2 - 2{x_A} - x_B^2 + 2{x_A} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_A} - {x_B}} \right)\left( {{x_A} + {x_B} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\,\,(L)\\{x_A} + {x_B} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{y_A} + {y_B} = \left( {x_A^3 - 3x_A^2 + 2} \right) + \left( {x_B^3 - 3x_B^2 + 2} \right)\\ = \left( {x_A^3 + x_B^3} \right) - 3\left( {x_A^2 + x_B^2} \right) + 4\\ = {\left( {x_A^{} + x_B^{}} \right)^3} - 3.\left( {x_A^{} + x_B^{}} \right){x_A}{x_B} - 3\left( {{{\left( {x_A^{} + x_B^{}} \right)}^2} - 2{x_A}{x_B}} \right) + 4\\ = 8 - 6{x_A}{x_B} - 3\left( {4 - 2{x_A}{x_B}} \right) + 4 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \)AB có trung điểm \(I\left( {1;0} \right)\)

\(I \in d \Rightarrow 0 = 1 + m \Rightarrow m =  - 1 \Rightarrow \,\,\left( d \right):y = x - 1\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\):

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 2 = x - 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \({x_A} + {x_B} = 2 \Rightarrow {x_A} = 3,\,\,{x_B} =  - 1\)  (giả sử \({x_A} > {x_B}\))\( \Rightarrow {x_A}{x_B} =  - 3\).

Chọn: B