Xét các số thực dương \(a\),\(b\) thỏa mãn \({\log...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi điều kiện bài toán, đưa về phương trình hàm đặc trưng f(a) = f(b)

Giải chi tiết:

Điều kiện: ab < 1

Điều kiện của đề bài tương đương với

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {1 - ab} \right) - {\log _2}\left( {a + b} \right) = 2ab + a + b - 3\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2 - 2ab} \right) + 2 - 2ab = {\log _2}\left( {a + b} \right) + a + b{\rm{ }}\left( * \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) trên (0;+∞). Có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\forall t > 0\) nên f(t) đồng biến và liên tục trên (0;+∞). Suy ra

\(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2 - 2ab} \right) = f\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow 2 - 2ab = a + b \Leftrightarrow 2ab + a + b - 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Có \(P = a + 2b \Rightarrow a = P - 2b\). Thay vào (1) ta có

\(2\left( {P - 2b} \right)b + P - b - 2 = 0 \Leftrightarrow  - 4{b^2} + \left( {2P - 1} \right)b + P - 2 = 0\)

Phương trình trên có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {2P - 1} \right)^2} + 16\left( {P - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4{P^2} + 12P - 31 \ge 0\)

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{{2\sqrt {10}  - 3}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}P > 0} \right)\) (Kiểm tra khi đó a , b > 0)

Chọn A