Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \({{z}_{1}}=a+bi\,\,\left( a;b\in R \right)\)

\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-i{{z}_{1}} \right|=\left| \left( 1-i \right){{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\), tìm GTLN của \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

Giải chi tiết:

Đặt \({{z}_{1}}=a+bi\,\,\left( a;b\in R \right)\)

\(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-i{{z}_{1}} \right|=\left| \left( 1-i \right){{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\left| {{z}_{1}} \right|=\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\begin{align}  \left| a+bi+1-i \right|=2\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2\left( a-b \right)=2 \\  \Rightarrow 2\left( a-b \right)=2-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\  \Rightarrow 4{{\left( a-b \right)}^{2}}={{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+4 \\ \end{align}\)

Ta có : \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab\ge 0\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{\left( a-b \right)}^{2}}\)

\(\begin{align}  \Rightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+4\le 8\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\  \Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}-12\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+4\le 0 \\  \Rightarrow 6-4\sqrt{2}\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\le 6+4\sqrt{2} \\  \Rightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le 2+\sqrt{2} \\  \Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\le 2\sqrt{2}+2 \\ \end{align}\)

Chọn B.