Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hìn...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a=\left( \alpha  \right)\cap \left( \gamma  \right),b=\left( \beta  \right)\cap \left( \gamma  \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\): \(\left( \widehat{\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)} \right)=\left( \widehat{a;b} \right)\)

Giải chi tiết:

Kẻ \(OH\bot AM,\,\,H\in AM,\,\,\,\,\,OK\bot SH,\,\,K\in SH\)

Vì  \(\left\{ \begin{align}  AM\bot SO \\  AM\bot OH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AM\bot (SOH)\Rightarrow AM\bot OK\)

Mà \(OK\bot SH\Rightarrow OK\bot (SAM)\Rightarrow d(O,(SAM))=OK=2\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align}  (SAM)\cap (OAM)=AM \\  AM\bot (SOH) \\ \end{align} \right.\) (vì \(AM\bot OH,\,\,AM\bot SO\))

Mà \((SOH)\cap (OAM)=OH,\,\,(SOH)\cap (SAM)=SH\)

\(\Rightarrow \left( \widehat{(SAM),(OAM)} \right)=\left( \widehat{SH,OH} \right)=\widehat{SHO}={{30}^{0}}\) 

Tam giác OHK vuông tại K \(\Rightarrow OH=\frac{OK}{\sin \widehat{H}}=\frac{2}{\sin {{30}^{0}}}=4\)

Tam giác SOH vuông tại O \(\Rightarrow SO=OH.\tan \widehat{H}=4.\tan {{30}^{0}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)

Tam giác OAM cân tại O, \(\widehat{AOM}={{60}^{0}}\), \(OH\bot AM\Rightarrow \widehat{HOM}=\frac{\widehat{AOM}}{2}=\frac{{{60}^{0}}}{2}={{30}^{0}}\)

Tam giác OHM vuông tại H \(\Rightarrow OM=\frac{OH}{\cos \widehat{HOM}}=\frac{4}{\cos {{30}^{0}}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}\)

Thể tích khối nón: \(V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi .O{{M}^{2}}.SO=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{8}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{256\sqrt{3}\pi }{27}\).

Chọn: C