Có bao nhiêu giá trị nguyên của...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) có hai tiệm cận ngang \(\Leftrightarrow \) Tập xác định của \(y=f(x)\) chứa khoảng âm vô cực và dương vô cực và \(\exists a,\,b\in \mathbb{R},\,\,a\ne b:\,\,\,\,\,\left\{ \begin{align}  & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a \\ & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b \\\end{align} \right.\).

Giải chi tiết:

\(y={{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{align}  & m{{x}^{2}}+1\ge 0 \\ & (2018-m){{x}^{2}}+1\ge 0 \\\end{align} \right.\)

Đồ thị của hàm số \(y={{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}\) có 2 tiệm cận ngang \(\Rightarrow \)Tập xác định D phải chứa khoảng âm vô cực và dương vô cực.

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & m\ge 0 \\ & 2018-m\ge 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 2018\)

+) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3-\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{1-\sqrt{(2018-m)+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}=a\)

Ta tìm m để tồn tại giá trị của \(a\in R\):

TH1: \(1-\sqrt{2018-m}\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2017\). Khi đó:\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}={{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}=a\in R\)

TH2:  \(1-\sqrt{2018-m}=0\Leftrightarrow m=2017\). Khi đó: \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}=a=0\in R\)

+)  \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3+\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{1+\sqrt{(2018-m)+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}}}}={{e}^{\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}}}}=b\in R,\,\,\forall m\in \left[ 0;2018 \right]\)

+) Giải phương trình:

\(\begin{align}  & {{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}={{e}^{\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}}}}\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}=\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}} \\ & \Leftrightarrow \left( 3-\sqrt{m} \right)\left( 1+\sqrt{2018-m} \right)=\left( 3+\sqrt{m} \right)\left( 1-\sqrt{2018-m} \right) \\ & \Leftrightarrow 3+3\sqrt{2018-m}-\sqrt{m}-\sqrt{m(2018-m)}=3-3\sqrt{2018-m}+\sqrt{m}-\sqrt{m(2018-m)} \\ & \Leftrightarrow 6\sqrt{2018-m}=2\sqrt{m}\,\,\,\,\Leftrightarrow 9.(2018-m)=m\,\,\,\,\,\Leftrightarrow m=\frac{9081}{5}\in \left[ 0;2018 \right] \\ & \Rightarrow {{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}={{e}^{\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}}}}\Leftrightarrow m=\frac{9081}{5} \\\end{align}\)

Vậy, với mọi số nguyên \(m\in \left[ 0;2018 \right]\backslash \left\{ \frac{9081}{5} \right\}\), hàm số \(y={{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}\) luôn có 2 tiệm cận ngang.

Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 2019 số.

Chọn: B