Cho phương trình \({{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t\left( x \right)=x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{t}\), tìm miền giá trị của t ứng với \(x>2\).

+) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm t thuộc khoảng vừa tìm được. 

Giải chi tiết:

Ta có \(\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-1 \right)=1\)

Đặt \(t\left( x \right)=x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{t}\)

Ta có \(t'\left( x \right)=1-\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x=0\)

Với \(x>2\) ta có \(\sqrt{{{x}^{2}}-1}<\sqrt{{{x}^{2}}}=x\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x<0\Rightarrow t'\left( x \right)<0\) \(\Rightarrow x>2\Rightarrow t\in \left( 0;2-\sqrt{3} \right)\)

Khi đó phương trình trở thành 

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,{\log _2}t.{\log _5}t = {\log _m}{t^{ - 1}} = - {\log _m}t\,\,\,\left( * \right)\\
\Leftrightarrow {\log _2}t.{\log _5}t + {\log _m}t = 0\\
\Leftrightarrow {\log _2}t.{\log _5}t + {\log _m}2.{\log _2}t = 0\\
\Leftrightarrow {\log _2}t\left( {{{\log }_5}t + {{\log }_m}2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}t = 0\\
{\log _5}t + {\log _m}2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\
{\log _5}t = - {\log _m}2 = {\log _m}\frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = {5^{{{\log }_m}\frac{1}{2}}}
\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x>2\) thì phương trình (*) có nghiệm \(t\in \left( 0;2-\sqrt{3} \right)\).

Chọn D.