Cho hàm số \(y=m{{x}^{3}}-3m{{x}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Lấy y chia y’ lấy phần dư, xác định đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực trị.

+) Tính khoảng cách từ điểm M đến (d) theo m, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của khoảng cách đó.

Giải chi tiết:

Ta có: \(y'=3m{{x}^{2}}-6mx+2m+1\)

Để hàm số có hai điểm cực trị\( \Leftrightarrow 9{m^2} - 3m\left( {2m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 3m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.\)

Lấy y chia y’ lấy phần dư, ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

\(\begin{align}  & y=\frac{-2m+2}{3}x-\frac{1}{3}m+\frac{10}{3}\Leftrightarrow \left( 2m-2 \right)x+3y+m-10=0\,\,\,\left( d \right) \\ & \Rightarrow d\left( M;d \right)=\frac{\left| m-1+12+m-10 \right|}{\sqrt{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+9}}=\frac{\left| 2m+1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}-8m+13}}=\sqrt{\frac{4{{m}^{2}}+4m+1}{4{{m}^{2}}-8m+13}} \\\end{align}\)

Đặt \(f\left( m \right)=\frac{4{{m}^{2}}+4m+1}{4{{m}^{2}}-8m+13}\) với \(\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.\)

\(f'\left( m \right) = \frac{{ - 48{m^2} + 96m + 60}}{{{{\left( {4{m^2} - 8m + 13} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = - \frac{1}{2}\\
m = \frac{5}{2}
\end{array} \right.\)

Lập BBT:

\(\Rightarrow \max f\left( m \right)=2\Rightarrow d{{\left( A;d \right)}_{\max }}=\sqrt{2}\)

Chọn C.