Trong không gian Oxyz, cho hình hộp \(ABC...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đánh giá theo bất đẳng thức: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{c^2} + {d^2}}  \ge \sqrt {{{(a + c)}^2} + {{(b + d)}^2}} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Giải chi tiết:

\(AB = \sqrt 3 ,\,\,AD = \sqrt 6 ,\,\,AA' = 2\sqrt 2 \)

Gọi độ dài đoạn \(DM = x,\,\,\left( {0 \le x \le \sqrt 3 } \right)\). Khi đó, tổng các khoảng cách: 

\(AM + MC' = \sqrt {6 + {x^2}}  + \sqrt {8 + {{\left( {\sqrt 3  - x} \right)}^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {\sqrt 6  + \sqrt 8 } \right)}^2} + {{\left( {x + \sqrt 3  - x} \right)}^2}}  = \sqrt {6 + 8\sqrt 3  + 8 + 3}  = \sqrt {17 + 8\sqrt 3 } \)

\( \Rightarrow AM + MC'\,\,\min  = \sqrt {17 + 8\sqrt 3 } \) khi và chỉ khi \(\frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt 8 }} = \frac{x}{{\sqrt 3  - x}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow 2x = 3 - \sqrt 3 x \Leftrightarrow x = \frac{3}{{2 + \sqrt 3 }} = 6 - 3\sqrt 3 \).

Chọn: C