Cho số phức z thay đổi thỏa mãn...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(\left( z-i \right)\left( i+1 \right)=x+yi\Rightarrow \) Tìm \(z-i\) và \(z+i\) theo x, y.

+) Tính \(\left| z-i \right|;\,\,\left| z+i \right|\) và thay vào giả thiết \(\left| z-i \right|+\left| z+i \right|=6\)

+) Gọi các điểm biểu diễn, đưa về bài toán hình học, tìm quỹ tích điểm \(M\left( x;y \right)\) và tính diện tích hình phẳng đó.

Giải chi tiết:

Đặt 

\(\left( {z - i} \right)\left( {i + 1} \right) = x + yi \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
z - i = \frac{{x + yi}}{{i + 1}}\\
z + i = \frac{{x + yi}}{{i + 1}} + 2i = \frac{{x + yi - 2 + 2i}}{{i + 1}} = \frac{{x - 2 + \left( {y + 2} \right)i}}{{i + 1}}
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{align}  & \left| z-i \right|=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{\sqrt{2}} \\ & \left| z+i \right|=\frac{\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}} \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}}}{\sqrt{2}}=6\,\,\left( * \right)\)

Gọi \(M\left( x;y \right);\,\,I\left( 2;-2 \right)\)  từ (*) ta có \(\frac{MO}{\sqrt{2}}+\frac{MI}{\sqrt{2}}=6\Leftrightarrow MO+MI=6\sqrt{2}\)

Do đó quỹ tích điểm M là elip nhận O; I là hai tiêu điểm và trục lớn \(2a=6\sqrt{2}\Rightarrow a=3\sqrt{2}\)

\(2c=OI=2\sqrt{2}\Rightarrow c=\sqrt{2}\Rightarrow b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}=4\)

Vậy diện tích elip là \(S=\pi ab=\pi .4.3\sqrt{2}=12\pi \sqrt{2}\)

Chọn B.