Cho đồ thị \((C):y=\frac{x-1}{2x}\)  và \({{d}_{1}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), sử dụng điều kiện song song, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đưa về hàm một biến, khảo sát hoặc đánh giá bất đẳng thức tìm GTLN

Giải chi tiết:

Gọi \(A\left( a;\frac{a-1}{2a} \right);\ \,B\left( b;\frac{b-1}{2b} \right)\,\,\,\left( a\ne b \right)\). Ta có \(y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=\frac{1}{2{{x}^{2}}};\,\,\forall x\ne 0.\)

Theo bài ra, ta có \({y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2{{a}^{2}}}=\frac{1}{2{{b}^{2}}}\Rightarrow \,\,a=-\,b\) (vì \(a\ne b\)).

Suy ra \(A,\,\,B\) đối xứng nhau qua tâm đối xứng \(I\left( 0;\frac{1}{2} \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) tại A là \(\left( d \right):y=\frac{1}{2{{a}^{2}}}\left( x-a \right)+\frac{a-1}{2a}\)

Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến là \(d=2\,\,\times \,\,d\left( I;\left( d \right) \right)=\frac{\frac{2}{\left| a \right|}}{\sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1}}\le \frac{2}{\left| a \right|}:\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}}=2\).

Vì theo bất đẳng thức AM – GM, ta được \(\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1\ge 2\sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1}\le \frac{1}{\left| a \right|}.\)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa tiếp tuyến \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là \(2.\)

Chọn C