Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {{x^2} + x...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế.

Giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x - 2 \ge 0\\3x - 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 2\end{array} \right.\\x \ge \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + x - 2}  + \sqrt {3x - 2}  < 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 + 3x - 2 + 2\sqrt {\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {3x - 2} \right)}  < 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 20 + 2\sqrt {\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {3x - 2} \right)}  < 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {3x - 2} \right)}  <  - {x^2} - 4x + 20\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - 4x + 20 > 0\\4\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {3x - 2} \right) < {\left( { - {x^2} - 4x + 20} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2\sqrt 6  < x <  - 2 + 2\sqrt 6 \\12{x^3} + 4{x^2} - 32x + 16 < {x^4} + 16{x^2} + 400 + 8{x^3} - 40{x^2} - 160x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2\sqrt 6  < x <  - 2 + 2\sqrt 6 \\{x^4} - 4{x^3} - 28{x^2} - 128x + 384 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2\sqrt 6  < x <  - 2 + 2\sqrt 6 \\\left( {x - 2} \right)\left( {{x^3} - 2{x^2} - 32x - 192} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 - 2\sqrt 6  < x <  - 2 + 2\sqrt 6 \\\left[ \begin{array}{l}x > 8,46\\x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 - 2\sqrt 6  < x < 2\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ban đầu ta có \(x \in \left[ {1;2} \right)\).

Chọn A.