Cho tam giác ABC có $AB < AC,\;D$  nằm giữa A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 2 tam giác đồng dạng với nhau theo trường hợp góc – góc.

b) Áp dụng định lý: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

c) Áp dụng tính chất đường phân giác, tìm các tỉ lệ thức phù hợp sau đó áp dụng tính chất bắc cầu để tìm ra điều phải chứng minh.

d) Áp dụng tính chất đường phân giác đối với tia phân giác ngoài của tam giác, kết hợp với kết quả câu c để chứng minh yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

a) Xét $\Delta A{\rm{D}}B$và $\Delta ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}\angle AB{\rm{D}} = \angle ACB\;\;\left( {gt} \right)\\\angle A\;\;chung\\ \Rightarrow \Delta A{\rm{D}}B \sim \Delta ABC\;\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.A{\rm{D}}\;\;\left( {dpcm} \right)\end{array}$   

b) Ta có $\Delta A{\rm{D}}B \sim \Delta ABC\;\;\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \frac{{{S_{\Delta A{\rm{D}}B}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{{S_{\Delta A{\rm{D}}B}}}}{{16}} = {\left( {\frac{6}{8}} \right)^2} \Leftrightarrow {S_{\Delta A{\rm{DB}}}} = \frac{{{6^2}.16}}{{{8^2}}} = 9c{m^2} \Leftrightarrow {S_{\Delta AB{\rm{D}}}} = 9c{m^2}$.

c) Xét tam giác ABD có AF là phân giác góc A.

$\Rightarrow \frac{{F{\rm{D}}}}{{FB}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}}$  (tính chất đường phân giác)         (1)

Xét tam giác ABC có AE là phân giác góc A.

 $\Rightarrow \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$  (tính chất đường phân giác)          (2)

Mà $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{A{\rm{D}}}}{{AB}}$ (chứng minh câu a)              (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\frac{{F{\rm{D}}}}{{FB}} = \frac{{EB}}{{EC}}\;\;\left( {dpcm} \right)$

d)  Ta có $AM \bot A{\rm{E}}$ (theo giả thiết)

$\Rightarrow$ AM là phân giác ngoài của tam giác ABC (Vì AE là phân giác trong của tam giác ABC)

Theo định lý về tính chất đường phân giác ta có: $\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$

Mà: $\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ (chứng minh ở câu c)

$\Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{EB}}{{EC}} \Leftrightarrow MB.EC = MC.EB$ (điều phải chứng minh)