Chứng minh: \(\widehat {BAM} = \widehat {ICB}\). T...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh tam giác BMA và BIC đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh, suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau. Từ đó tìm các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để chứng minh AB là phân giác \(\angle MAK\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{AB}}{{MB}} = \frac{{BC}}{{BI}} \Leftrightarrow \frac{{MB}}{{BI}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{BI}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)

Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta BIC\) ta có:

            \(\)\(\frac{{BM}}{{BI}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) (chứng minh trên)

            \(\)\(\angle B:\;chung\)

\(\Rightarrow \Delta BMA\backsim \Delta BIC\ (c-g-c)\)

\( \Rightarrow \angle BAM = \angle BCI \Leftrightarrow \angle BAM = \angle ICB\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (đpcm)

Xét tam giác BCD có AB và DM là đường cao.

Suy ra I giao của 2 đường cao AB và DM là trực tâm của tam giác BCD.

\( \Rightarrow CI\) là đường cao của tam giác BCD.

\( \Rightarrow \angle IKB = {90^0}\)

Xét \(\Delta CAI\) và \(\Delta BKI\) ta có:

\(\angle IAC = \angle IKB = {90^0}\)

\(\angle AIC = \angle KIB\) (cặp góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow \Delta CAI\backsim \Delta BKI\ (g-g)\)

\( \Rightarrow \frac{{IA}}{{IK}} = \frac{{IC}}{{IB}} \Rightarrow \frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{IK}}{{IB}}\)

Xét \(\Delta IAK\) và \(\Delta ICB\) ta có:

\(\angle AIK = \angle CIB\) (cặp góc đối đỉnh)

\(\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{IK}}{{IB}}\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \Delta IAK\backsim \Delta ICB (g - g)\)

\( \Rightarrow \angle IAK = \angle ICB\;(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle IAK = \angle BAM\). Hay AB là phân giác của \(\angle MAK\).