Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\s...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thêm bớt \(\sqrt {10} \) vào tử thức rồi sử dụng phương pháp nhân liên hợp để khử dạng vô định.

Giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 8}  - \sqrt {11 - x} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 8}  - \sqrt {10}  - \left( {\sqrt {11 - x}  - \sqrt {10} } \right)}}{{x - 1}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 8}  - \sqrt {10} }}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt {11 - x}  - \sqrt {10} }}{{x - 1}}} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt {2{x^2} + 8}  - \sqrt {10} } \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 8}  + \sqrt {10} } \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 8}  + \sqrt {10} } \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt {11 - x}  - \sqrt {10} } \right)\left( {\sqrt {11 - x}  + \sqrt {10} } \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {11 - x}  + \sqrt {10} } \right)}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{2{x^2} + 8 - 10}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 8}  + \sqrt {10} } \right)}} - \dfrac{{11 - x - 10}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {11 - x}  + \sqrt {10} } \right)}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 8}  + \sqrt {10} } \right)}} - \dfrac{{1 - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {11 - x}  + \sqrt {10} } \right)}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 8}  + \sqrt {10} } \right)}} + \dfrac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {11 - x}  + \sqrt {10} } \right)}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {2{x^2} + 8}  + \sqrt {10} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {11 - x}  + \sqrt {10} }}} \right)\)

\( = \dfrac{{2\left( {1 + 1} \right)}}{{\sqrt {{{2.1}^2} + 8}  + \sqrt {10} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {11 - 1}  + \sqrt {10} }} = \dfrac{5}{{2\sqrt {10} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}\)

Suy ra \(\dfrac{{\sqrt a }}{{2\sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow a = 5;b = 2 \Rightarrow a + b = 7.\)

Chọn B.