Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại mọi điểm \({{x}_{0}}\) khi và chỉ khi \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\).

- Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên D khi và chỉ khi \(y=f(x)\) liên tục tại mọi điểm \({{x}_{0}}\in D\).

Giải chi tiết:

Nhận xét: Hàm số đã cho luôn liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;0 \right),\,\,\left( 0;+\infty  \right)\). Để hàm số liên tục trên R thì hàm số liên tục tại điểm \(x=0\) (*)

Ta có:

\(\begin{align}  \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2} \\  \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-m \right)=1-m \\  f(0)=\sqrt{{{0}^{2}}+1}-m=1-m \\ \end{align}\)

(*) \(\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)\Leftrightarrow 1-m=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Chọn: B