Cho góc \(\angle xAy = {60^o}\) và \(\left( O \rig...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^o}\) là tứ giác nội tiếp.

b) Tách \(\angle EDF\) thành tổng 2 góc nhỏ, từ đó sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp, tính chất tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đẻ biến dổi hai góc nhỏ đó thành tổng góc có thể tính được.

c) Chứng minh \(\Delta MDE \sim \Delta MFD\) từ đó suy ra đpcm.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác CDME là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(\angle CDM = {90^o}\,\,\,\left( {MD \bot BC} \right)\) và \(\angle CEM = {90^o}\,\,\left( {ME \bot AC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle CDM + \angle CEM = {180^o}\)

\( \Rightarrow \) CDME là tứ giác nội tiếp  (dhnb). (đpcm)

b) Tính số đo của góc \(\angle EDF\).

Ta có \(\angle MDE = \angle MCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).

Mà \(\angle MCE = \angle MBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC của \(\left( O \right)\)) \( \Rightarrow \angle MDE = \angle MBC\,\,\,\left( { = \angle MCE} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\) 

Tương tự câu a) ta cũng có BDMF là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle MDF = \angle MBF\,\,\left( { = \angle MBC} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) 

\(\Delta ABC\) có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và \(\angle BAC = {60^o}\,\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle EDF = \angle MDE + \angle MDF = \angle MBC + \angle MBF = \angle CBA = {60^o}\)  (\(\Delta ABC\) đều)

c) Chứng minh rằng \(M{D^2} = ME.MF\).

Ta có \(\angle MED = \angle MCD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD).

Mà \(\angle MCD = \angle MBF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BM)

Kết hợp (2) \( \Rightarrow \angle MED = \angle MDF\,\,\,\left( { = \angle MBF} \right)\)

Ta có \(\angle MBC = \angle MFD\) (BDMF là tứ giác nội tiếp, hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD)

Kết hợp (1) \( \Rightarrow \angle MDE = \angle MFD\,\,\,\left( {\angle MBC} \right).\)

Xét \(\Delta MDE\) và \(\Delta MFD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle MED = \angle MDF\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle MDE = \angle MFD\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MDE \sim \Delta MFD\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{ME}}{{MD}} \Rightarrow M{D^2} = ME.MF\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)