Cho phương trình \({7^x} + m = {\log _7}\left( {x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{7^x} + m = {\log _7}\left( {x - m} \right)\\ \Leftrightarrow {7^x} + x = x - m + {\log _7}\left( {x - m} \right)\\ \Leftrightarrow {7^x} + x = {7^{{{\log }_7}\left( {x - m} \right)}} + {\log _7}\left( {x - m} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {7^x} + x \Rightarrow f'\left( x \right) = {7^x}\ln 7 + 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên R

\(\left( * \right) \Rightarrow x = {\log _7}\left( {x - m} \right) \Leftrightarrow {7^x} = x - m \Leftrightarrow m = x - {7^x}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x - {7^x}\) có \(g'\left( x \right) = 1 - {7^x}\ln 7 = 0 \Leftrightarrow {7^x} = \dfrac{1}{{\ln 7}} \Leftrightarrow x = {\log _7}\dfrac{1}{{\ln 7}}\)

Lập BBT:

\( \Rightarrow \) Để phương trình có nghiệm thì \(m \in \left( { - \infty ;g\left( {{{\log }_7}\dfrac{1}{{\ln 7}}} \right)} \right)\)
Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left( { - 25;g\left( {{{\log }_7}\dfrac{1}{{\ln 7}}} \right)} \right);\,\,g\left( {{{\log }_7}\dfrac{1}{{\ln 7}}} \right) \approx - 0,85\)
Mà \(m \in Z \Rightarrow \) có 24 giá trị thỏa mãn.
Chọn C.