Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt c...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giả sử \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;1} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

+) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( \Delta  \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0\\d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\end{array} \right.\)với \(I,\,\,R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\). Giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,b\) từ đó suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;1} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\)

\( \Rightarrow pt\left( P \right):\,\,a\left( {x - 4} \right) + b\left( {y - 3} \right) + z - 4 = 0 \Leftrightarrow ax + by + z - 4a - 3b - 4 = 0\).

Ta có \(\left( P \right)//\left( \Delta  \right) \Rightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {{u_\Delta }}  = 0 \Leftrightarrow  - 3a + 2b + 2 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{{2b + 2}}{3}\,\,\left( 1 \right)\)

Gọi \(I,\,\,R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow I\left( {1;2;3} \right),\,\,R = 3\).

\(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) nên \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) .

\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {a + 2b + 3 - 4a - 3b - 4} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {3a + b + 1} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1} \,\,\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {2b + 2 + b + 1} \right| = 3\sqrt {\dfrac{{{{\left( {2b + 2} \right)}^2}}}{9} + {b^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {b + 1} \right| = \dfrac{{\sqrt {13{b^2} + 8b + 13} }}{3}\\ \Leftrightarrow 3\left| {b + 1} \right| = \sqrt {13{b^2} + 8b + 13}  \Leftrightarrow 9{b^2} + 18b + 9 = 13{b^2} + 8b + 13\\ \Leftrightarrow 4{b^2} - 10b + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + 2y + z - 18 = 0\\b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow a = 1 \Rightarrow \left( P \right):\,\,x + \dfrac{1}{2}y + z - \dfrac{{19}}{2} = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z - 19 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Lấy \(M\left( {6;2;2} \right) \in \Delta  \Rightarrow M\) thuộc mặt phẳng \(\,2x + 2y + z - 18 = 0 \Rightarrow \Delta  \subset \left( P \right)\) (ktm)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:  \(2x + y + 2z - 19 = 0.\)

Chọn A.