Tìm m để bất phương trình \({x^2} + m + 4...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 8}  = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right).\)

Lập bảng biến thiên khảo sát giá trị của biến.

Cô lập m, lập bảng biến thiên khảo sát từ đó suy ra m

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \( - 2 \le x \le 4\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + m + 4\sqrt {(x + 2)(4 - x)}  \ge 2x + 18\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x + 8 - 4\sqrt { - {x^2} + 2x + 8}  + 10 \le m\end{array}\)

Đặt  \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 8}  = t\,\,\,\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

Ta có: \( - {x^2} + 2x + 8 =  - {\left( {x - 1} \right)^2} + 9 \le 9\) với mọi \(x \in \left[ { - 2;4} \right]\)

\( \Rightarrow 0 \le t \le 3\)

Đề bài trở thành: Tìm m để bất phương trình \({t^2} - 4t + 10 \le m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {0;3} \right]\)

 \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left( {{t^2} - 4t + 10} \right)\)

Xét \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 10\) ta có bảng biến thiên

Vậy để bất phương trình \({t^2} - 4t + 10 \le m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {0;3} \right]\) \( \Leftrightarrow m \ge 10.\)

Chọn D.