Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phép vị tự để xác định tọa độ điểm B.

Giải chi tiết:

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y + 14z + 64 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 14\)

*) Xét trường hợp M nằm giữa A và B: 

Do \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}\) và M nằm giữa A và B, mà A là điểm nằm trên đường thẳng \(\Delta \)

\( \Rightarrow B\) là điểm nằm trên \(d\) (d là ảnh của \(\Delta \) qua phép vị tự tâm M tỉ số \( - 2\))

Khi đó, \(d\)// \(\Delta  \Rightarrow d\) có 1 VTCP là \(\left( {1; - 1;1} \right)\).

Lấy  \({A_0}\left( {3; - 1; - 2} \right) \in \Delta \), \({V_{\left( {M;k =  - 2} \right)}}\left( {{A_0}} \right) = {A_0}' \Rightarrow {A_0}' \in d\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_0}'}} - 1 = - 2\left( {3 - 1} \right)\\{y_{{A_0}'}} - 2 = - 2\left( { - 1 - 2} \right)\\{z_{{A_0}'}} + 1 = - 2\left( { - 2 + 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {A_0}'\left( { - 3;8;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y = 8 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

\(B \in d \Rightarrow \)Giả sử \(B\left( { - 3 + t;8 - t;1 + t} \right)\)

\(B \in \left( S \right) \Rightarrow \)\({\left( { - 3 + t - 2} \right)^2} + {\left( {8 - t + 5} \right)^2} + {\left( {1 + t + 7} \right)^2} = 14 \Leftrightarrow {\left( {t - 5} \right)^2} + {\left( {3 - t} \right)^2} + {\left( {t + 8} \right)^2} = 14\)\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 84 = 0\) (vô lí)

*) Xét trường hợp M nằm ngoài A và B: 

Do \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}\) và M nằm ngoài A và B, mà A là điểm nằm trên đường thẳng \(\Delta \)

\( \Rightarrow B\) là điểm nằm trên \(d\) (d là ảnh của \(\Delta \) qua phép vị tự tâm M tỉ số \(4\))

Khi đó, \(d\)// \(\Delta  \Rightarrow d\) có 1 VTCP là \(\left( {1; - 1;1} \right)\).

Lấy  \({A_0}\left( {3; - 1; - 2} \right) \in \Delta \), \({V_{\left( {M\left( {1;2; - 1} \right);k = 4} \right)}}\left( {{A_0}} \right) = A_0' \Rightarrow A_0' \in d\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A_0'}} - 1 = 4\left( {3 - 1} \right)\\{y_{A_0'}} - 2 = 4\left( { - 1 - 2} \right)\\{z_{A_0'}} + 1 = 4\left( { - 2 + 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A_0'\left( {9; - 10; - 5} \right)\)

Phương trình đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + t\\y =  - 10 - t\\z =  - 5 + t\end{array} \right.,\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

\(B \in d \Rightarrow \)Giả sử \(B\left( {9 + t; - 10 - t; - 5 + t} \right)\)

\(B \in \left( S \right) \Rightarrow \)\({\left( {9 + t - 2} \right)^2} + {\left( { - 10 - t + 5} \right)^2} + {\left( { - 5 + t + 7} \right)^2} = 14 \Leftrightarrow {\left( {t + 7} \right)^2} + {\left( {t + 5} \right)^2} + {\left( {t + 2} \right)^2} = 14\)\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 28t + 64 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{{16}}{3}\\t =  - 4\end{array} \right.\)

\(t =  - \dfrac{{16}}{3} \Rightarrow \)\(B\left( {\dfrac{{11}}{3}; - \dfrac{{14}}{3}; - \dfrac{{31}}{3}} \right)\) (loại)

\(t =  - 4 \Rightarrow \)\(B\left( {5; - 6; - 9} \right)\) (thỏa mãn)

\(\overrightarrow {MA}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 1 = \dfrac{1}{4}\left( {5 - 1} \right)\\{y_A} - 2 = \dfrac{1}{4}\left( { - 6 - 2} \right)\\{z_A} + 1 = \dfrac{1}{4}\left( { - 9 + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2\\{y_A} = 0\\{z_A} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2;0; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \)Trung điểm I của AB có tọa độ là: \(I\left( {\dfrac{7}{2}; - 3; - 6} \right)\)

Mặt phẳng trung trực của AB đi qua \(I\left( {\dfrac{7}{2}; - 3; - 6} \right)\) và có 1 VTPT là \(\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2; - 2} \right)\), có phương trình là:

\(1\left( {x - \dfrac{7}{2}} \right) - 2\left( {y + 3} \right) - 2\left( {z + 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - 4z - 43 = 0\).

Chọn: C