Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trường hợp xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau và ko vuông góc với nhau ta dựng đoạn vuông góc chung của chúng bằng cách chọn một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Sau đó quy về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Từ C kẻ CE//BD, CE cắt AD kéo dài tại E. Khi đó ta có: \(\left( {SEC} \right) \supset SC;\left( {SEC} \right)\parallel BD\) .

 Khi đó ta có: \(d\left( {BD;SC} \right) = d\left( {BD;\left( {SEC} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SEC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SEC} \right)} \right)\) (do O là trung điểm của AC).

Từ A kẻ \(AI \bot CE = \left\{ I \right\}\) . Ta có: \(EC \bot AI;EC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow EC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SEC} \right) \bot \left( {SAI} \right);\left( {SEC} \right) \cap \left( {SAI} \right) = SI\) . Từ A kẻ AH vuông góc với SI. Khi đó ta có: \(d\left( {A;\left( {SEC} \right)} \right) = AH\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}{S_{AEC}} = \frac{1}{2}CD.AE = \frac{1}{2}a.4a = 2{a^2}\\ = \frac{1}{2}.AI.EC = \frac{1}{2}.AI.BD = \frac{1}{2}AI.\sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = \frac{1}{2}AI.a\sqrt 5 \\ \Rightarrow AI = \frac{{2.2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{4a}}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAI ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{5}{{16{a^2}}} = \frac{{21}}{{16{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{4a}}{{\sqrt {21} }} = \frac{{4a\sqrt {21} }}{{21}}\)

Khi đó ta có: \(d\left( {BD,SC} \right) = \frac{{2a\sqrt {21} }}{{21}}\)

Chọn C.