1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chú ý rút gọn \(P\) theo hằng đẳng thức bình phương, từ đó biến đổi \(x\) để phá dấu căn.

2) Thay 4 từ giả thiết vào 4 ở biểu thức cần chứng minh( sau khi đã nhân thêm 4 để ra được hằng đẳng thức).

Giải chi tiết:

1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right),\,\,\,P = \frac{{\sqrt x  + \sqrt {x - 2\sqrt x  + 1}  + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.\) Rút gọn \(P\)  theo \(a.\) .

Điều kiện: \(a > 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^2} + 2a + 1 + {a^4} + 2{a^3} + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^4} + 2{a^3} + {a^2} + 2a + 1 + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \left| {\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}} \right| = a + 1 - \frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}\,\,\,\left( {do\,\,\,\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}} > 0} \right)\\ = \frac{{{a^2} + 2a + 1 - {a^2} - a - 1}}{{a + 1}} = \frac{a}{{a + 1}} < 1\,\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow 0 < x < 1\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow P = \frac{{\sqrt x  + \sqrt {x - 2\sqrt x  + 1}  + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }} = \frac{{\sqrt x  + \sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}  + 1}}{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\sqrt x  + \left| {\sqrt x  - 1} \right| + 1}}{{\left| {x - 1} \right|}} = \frac{{\sqrt x  + 1 - \sqrt x  + 1}}{{1 - x}}\\ = \frac{2}{{1 - \frac{a}{{a + 1}}}} = \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1 - a}} = 2a + 2.\end{array}\)

Vậy \(P = 2a + 2.\)

2) Cho \(x,\,y,\,z\)  thỏa mãn: \(x + y + z + \sqrt {xyz}  = 4.\)

Chứng minh : \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)}  + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)}  + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)}  - \sqrt {xyz}  = 8.\)

Ta có: \(x + y + z + \sqrt {xyz}  = 4 \Leftrightarrow 4(x + y + z) + 4\sqrt {xyz}  = 16.\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right) = x\left[ {16 - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right] = x\left[ {4\left( {x + y + z} \right) + 4\sqrt {xyz}  - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right]\\ = x\left( {4x + 4\sqrt {xyz}  + yz} \right) = x{\left( {2\sqrt x  + \sqrt {yz} } \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)}  = \sqrt x \left( {2\sqrt x  + \sqrt {yz} } \right) = 2x + \sqrt {xyz} .\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)}  = 2y + \sqrt {xyz} \\\sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)}  = 2z + \sqrt {xyz} \end{array} \right..\)

Do vậy:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)}  + \sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)}  + \sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)}  - \sqrt {xyz} \\ = 2x + 2y + 2z + 3\sqrt {xyz}  - \sqrt {xyz} \\ = 2\left( {x\_y + z + \sqrt {xyz} } \right) = 8.\end{array}\)

Vậy \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)}  + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)}  + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)}  - \sqrt {xyz}  = 8.\)

Chọn A.