Số nghiệm của phương trình \(\log \sqrt {x - 1}  +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,x,y > 0} \right)\) sau đó giải phương trình logarit cơ bản \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\4x - 15 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \dfrac{{15}}{4}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log \sqrt {x - 1}  + \log \sqrt {4x - 15}  - \sqrt 3  = 0\\ \Leftrightarrow \log \left( {\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {4x - 15} \right)} } \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {4x - 15} \right)}  = {10^{\sqrt 3 }}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x - 15} \right) = {100^{\sqrt 3 }}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 19x + 15 - {100^{\sqrt 3 }} = 0\end{array}\)

Ta thấy \(4\left( {15 - {{100}^{\sqrt 3 }}} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Đặt \(f\left( x \right) = 4{x^2} - 19x + 15 - {100^{\sqrt 3 }}\) ta có: \(f\left( 1 \right) \ne 0,\,\,f\left( {\dfrac{{15}}{4}} \right) \ne 0 \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn \(x \ne 1,\,\,x \ne \dfrac{{15}}{4}\).

Chọn C.