Cho phương trình: \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0.\)a)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) : Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta \,\,\left( {\Delta '} \right) > 0.\)

 Bước 2: Phân tích biểu thức A về dạng chứa các hệ thức Viet sau đó áp dụng hệ thức Vi-et vào tìm được m và đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận.

Hệ thức Viet như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Cho phương trình: \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0.\)

a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Ta cosL \(\Delta ' = {m^2} + 4m + 5 = {(m + 2)^2} + 1 > 0,\forall m\)

Do đó phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 2{x_1} + 2{x_2} + 27.\)

Áp dụng định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  - 4m - 5\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 2{x_1} + 2{x_2} + 27.\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) - 27 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 3(4m + 5) - 4m - 27 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m - 12 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 3\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m = 1\,;\,\,m =  - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.